电通量的概念#

法拉第通过同心金属球实验发现，内球到外球存在一种”电荷位移”，这种位移与中间介质无关，称为位移、位移通量或电通量。

• 电通量 $\psi$ 的单位为库仑（C），其大小等于内球上的总电荷 $Q$：$\psi = Q$
• 电通量密度 $\mathbf{D}$ 的单位为 $\text{C/m}^2$，其方向为通量线在该点的方向
• 电通量密度的大小等于穿过垂直于通量线方向的单位面积的电通量

电通量密度与电场强度的关系#

在自由空间中，电通量密度 $\mathbf{D}$ 与电场强度 $\mathbf{E}$ 成正比：

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$

其中 $\varepsilon_0$ 为真空介电常数。

对点电荷，径向电通量密度为：

$\mathbf{D} = \frac{Q}{4\pi r^2} \mathbf{a}_r$

对一般体电荷分布：

$\mathbf{D} = \int_{\text{vol}} \frac{\rho_v dv}{4\pi R^2} \mathbf{a}_R$

例题1：线电荷的电通量密度#

题目： 求自由空间中，距 $z$ 轴上均匀线电荷（密度 $\rho_L = 8\text{ nC/m}$）3 m 处的电通量密度。

解析：

无限长线电荷产生的电场强度为：

$\mathbf{E} = \frac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0 \rho} \mathbf{a}_\rho$

因此电通量密度为：

$\mathbf{D} = \frac{\rho_L}{2\pi\rho} \mathbf{a}_\rho = \frac{8 \times 10^{-9}}{2\pi \rho} \mathbf{a}_\rho$

代入 $\rho = 3\text{ m}$：

$\mathbf{D} = \frac{8 \times 10^{-9}}{2\pi \times 3} \mathbf{a}_\rho = 0.424 \mathbf{a}_\rho \text{ nC/m}^2$

例题2：面电荷的电通量密度#

题目： 在平面 $x = 9$ 上有均匀面电荷密度 $\rho_s = 57.2\;\mu\text{C/m}^2$，求点 $P(6,8,-10)$ 处的 $\mathbf{D}$。

解析：

无限大均匀带电平面产生的电通量密度为：

$\mathbf{D} = \frac{\rho_s}{2} \mathbf{a}_N$

平面 $x = 9$ 的法向为 $\mathbf{a}_N = \mathbf{a}_x$，所以：

$\mathbf{D} = \frac{57.2 \times 10^{-6}}{2} \mathbf{a}_x = 28.6 \mathbf{a}_x \; \mu\text{C/m}^2$

高斯定律的表述#

法拉第实验可以推广为高斯定律：

穿过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的总电荷。

数学表达式为：

$\oint_S \mathbf{D}_S \cdot d\mathbf{S} = Q_{\text{enc}} = \int_{\text{vol}} \rho_v dv$

高斯定律的应用条件#

利用高斯定律求解电场时，需要选择一个闭合曲面（高斯面），满足两个条件：

1. $\mathbf{D}_S$ 处处与曲面垂直或相切——即 $\mathbf{D}_S \cdot d\mathbf{S}$ 要么为 $D_S dS$，要么为零
2. 在 $\mathbf{D}_S \cdot d\mathbf{S}$ 不为零的部分上，$D_S$ 为常数

例题3：同轴电缆#

题目： 一段 50 cm 长的同轴电缆，内导体半径 1 mm，外导体内半径 4 mm，导体间为空气。内导体总电荷 30 nC。求各导体上的电荷密度以及 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{D}$ 的表达式。

解析：

内导体上的电荷密度： 内导体表面积 $S_{\text{inner}} = 2\pi a L = 2\pi \times 0.001 \times 0.5 = \pi \times 10^{-3} \text{ m}^2$ $\rho_{s,\text{inner}} = \frac{Q}{S_{\text{inner}}} = \frac{30 \times 10^{-9}}{\pi \times 10^{-3}} = 9.55 \;\mu\text{C/m}^2$

外导体上的电荷密度： 外导体内表面积 $S_{\text{outer}} = 2\pi b L = 4\pi \times 10^{-3} \text{ m}^2$ $\rho_{s,\text{outer}} = \frac{-Q}{S_{\text{outer}}} = -2.39 \;\mu\text{C/m}^2$

导体间的 $\mathbf{D}$ 和 $\mathbf{E}$ 场（$a < \rho < b$）： 取长度为 $L$、半径为 $\rho$ 的高斯圆柱面，由高斯定律： $\mathbf{D} = \frac{Q/L}{2\pi\rho} \mathbf{a}_\rho = \frac{9.55 \times 10^{-9}}{\rho} \mathbf{a}_\rho \text{ C/m}^2$ $\mathbf{E} = \frac{\mathbf{D}}{\varepsilon_0} = \frac{1079}{\rho} \mathbf{a}_\rho \text{ V/m}$

均匀线电荷#

取同轴圆柱面作为高斯面，高度 $L$，半径 $\rho$： $\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = D_\rho \cdot 2\pi\rho L = \rho_L L$ $\mathbf{D} = \frac{\rho_L}{2\pi\rho} \mathbf{a}_\rho$

同轴电缆#

内导体半径 $a$，外导体半径 $b$，内导体表面电荷密度 $\rho_S$。 取 $a < \rho < b$ 的高斯圆柱面： $Q_{\text{enc}} = 2\pi a L \rho_S$ $\mathbf{D} = \frac{\rho_L}{2\pi\rho} \mathbf{a}_\rho, \quad \rho_L = 2\pi a \rho_S$

当 $\rho > b$ 时，总包围电荷为零，$\mathbf{D} = 0$——同轴电缆的屏蔽原理。

散度的定义#

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S}}{\Delta v}$

• 正散度 → 源点（source）
• 负散度 → 汇点（sink）
• 零散度 → 无源无汇

散度的表达式（三大坐标系）#

直角坐标系： $\nabla \cdot \mathbf{D} = \frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z}$

圆柱坐标系： $\nabla \cdot \mathbf{D} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho D_\rho) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial D_\phi}{\partial\phi} + \frac{\partial D_z}{\partial z}$

球坐标系： $\nabla \cdot \mathbf{D} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 D_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(D_\theta\sin\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial D_\phi}{\partial\phi}$

例题4：散度与通量计算#

题目： 已知 $\mathbf{D} = y^2 z^3 \mathbf{a}_x + 2xyz^3 \mathbf{a}_y + 3xy^2 z^2 \mathbf{a}_z \text{ pC/m}^2$，求： (a) 穿过 $x=3$，$0 \le y \le 2$，$0 \le z \le 1$ 曲面的总电通量 (b) $P(3,2,1)$ 处的 $|\mathbf{E}|$ (c) 以 $P$ 为中心、半径 $2\;\mu\text{m}$ 的微小球体内包含的总电荷

解析：

(a) 曲面 $x=3$ 的外法向为 $\mathbf{a}_x$： $\psi = \int_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \int_{z=0}^1 \int_{y=0}^2 y^2 z^3 \, dy \, dz = \int_0^1 z^3 \cdot \frac{8}{3} \, dz = \frac{2}{3} \text{ pC}$

(b) 在 $P(3,2,1)$ 处： $D_x = 4,\; D_y = 12,\; D_z = 36 \text{ pC/m}^2$ $|\mathbf{D}|_P = \sqrt{4^2+12^2+36^2} = 38.158 \text{ pC/m}^2$ $|\mathbf{E}|_P = \frac{|\mathbf{D}|_P}{\varepsilon_0} = 4.31 \text{ V/m}$

(c) 在 $P$ 点处散度： $\nabla \cdot \mathbf{D} = \frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z} = 0 + 2xz^3 + 6xy^2 z \bigg|_{P(3,2,1)} = 78 \text{ pC/m}^3$ 微小球体体积 $\Delta v = \frac{4}{3}\pi r^3 = 3.351 \times 10^{-17} \text{ m}^3$ $Q_{\text{enc}} \approx (\nabla \cdot \mathbf{D}) \Delta v = 2.61 \times 10^{-27} \text{ C}$

例题5：散度的常量特性#

题目： 验证场 $\mathbf{D} = 4xy \mathbf{a}_x + 2x^2 \mathbf{a}_y + 4z \mathbf{a}_z$ 的散度特性。

解析： $\nabla \cdot \mathbf{D} = \frac{\partial}{\partial x}(4xy) + \frac{\partial}{\partial y}(2x^2) + \frac{\partial}{\partial z}(4z) = 4y + 4$ 此场的散度与 $y$ 有关，并非常数。

例题6：验证散度定理#

题目： 对场 $\mathbf{D} = 2xy \mathbf{a}_x + x^2 \mathbf{a}_y \text{ C/m}^2$ 和平行六面体（$x=0,1$；$y=0,2$；$z=0,3$），验证散度定理。

解析：

面积分：

• $x=1$ 面：$\iint 2y \, dy\,dz = 12 \text{ C}$
• $y=2$ 面：$\iint x^2 \, dx\,dz = 1 \text{ C}$
• 其余面贡献为零
• 总面积分 $= 13 \text{ C}$

体积分： $\nabla \cdot \mathbf{D} = 2y$ $\int_{\text{vol}} 2y \, dv = \int_0^3 \int_0^2 \int_0^1 2y \, dx\,dy\,dz = 13 \text{ C}$

散度定理验证成立。

一、单选题#

1. 电通量密度的单位是？ A. V/m B. C/m² C. C/m³ D. N/C

答案： B 解析： 电通量密度 $\mathbf{D}$ 的单位是 $\text{C/m}^2$。 关联原文：[[Chp3 Gauss#电通量的概念]]

2. 真空中 $\mathbf{D}$ 和 $\mathbf{E}$ 的关系是？ A. $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$ B. $\mathbf{D} = \mathbf{E}/\varepsilon_0$ C. $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}^2$ D. 两者无关

答案： A 解析： 在真空中 $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$，其中 $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$。 关联原文：[[Chp3 Gauss#电通量密度与电场强度的关系]]

3. 高斯定律的数学表达式是？ A. $\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = Q_{\text{enc}}$ B. $\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = 0$ C. $\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \rho_v$ D. $\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \varepsilon_0 Q$

答案： A 解析： 高斯定律指出穿过闭合曲面的电通量等于曲面内包围的总电荷。 关联原文：[[Chp3 Gauss#高斯定律的表述]]

二、多选题#

4. 选择高斯面需满足的条件包括？ A. $\mathbf{D}_S$ 处处与曲面垂直 B. $\mathbf{D}_S$ 在高斯面上处处为常数 C. $\mathbf{D}_S$ 在与曲面垂直的部分上为常数 D. 高斯面必须为球面

答案： A、C 解析： 高斯面应使 $\mathbf{D}_S$ 处处垂直或相切于曲面，且在不为零的部分上 $D_S$ 为常数。 关联原文：[[Chp3 Gauss#高斯定律的应用条件]]

5. 散度的物理意义包括？ A. 正散度表示源点 B. 负散度表示汇点 C. 零散度表示无源无汇 D. 散度是矢量

答案： A、B、C 解析： 散度为标量，其正负指示场线的发出或汇聚。 关联原文：[[Chp3 Gauss#散度的定义]]

三、判断题#

6. 同轴电缆外部存在电场。 答案： 错误 解析： $\rho > b$ 时包围净电荷为零，$\mathbf{D} = 0$，这是同轴电缆的屏蔽原理。 关联原文：[[Chp3 Gauss#同轴电缆]]

7. 散度定理将面积分与体积分联系起来。 答案： 正确 解析： $\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \int_{\text{vol}} (\nabla \cdot \mathbf{D}) dv$。 关联原文：[[Chp3 Gauss#五、散度定理]]

四、简答题#

8. 简述高斯定律的内容及其应用时的条件。 参考答案： 高斯定律：穿过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的总电荷。应用时需选择合适的高斯面，使 $\mathbf{D}_S$ 处处垂直或相切于曲面，且在 $\mathbf{D}_S \cdot d\mathbf{S} \neq 0$ 的部分上 $D_S$ 为常数。 关联原文：[[Chp3 Gauss#二、高斯定律]]

9. 说明散度定理的物理意义。 参考答案： 散度定理表明，矢量场在闭合曲面上的通量等于其散度在闭合曲面内体积上的积分。它将面积分转化为体积分，是连接局部散度和全局通量的桥梁。 关联原文：[[Chp3 Gauss#五、散度定理]]

功的定义#

在电场 $\mathbf{E}$ 中移动电荷 $Q$ 一段距离 $\mathbf{L}$，电场对电荷施加的力为：

$\mathbf{F} = Q\mathbf{E}$

外力需克服电场力做功。外力施加的力 $\mathbf{F}_{\text{appl}} = -Q\mathbf{E}$，微功为：

$dW = -Q\mathbf{E} \cdot d\mathbf{L}$

将电荷从初始点移动到终点的总功为：

$W = -Q\int_{\text{init}}^{\text{final}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{L}$

结论：

• $W > 0$：外力做功（我们消耗能量）
• $W < 0$：电场做功（电场消耗能量）
• 当 $\mathbf{E} \perp d\mathbf{L}$ 时，微功为零

均匀电场中的功#

对于均匀电场 $\mathbf{E}$：

$W = -Q\mathbf{E} \cdot \mathbf{L}_{BA}$

功与路径无关，只取决于起点和终点的位置。

例题1：非均匀电场中的功（圆弧路径）#

题目： 给定非均匀电场 $\mathbf{E} = y\mathbf{a}_x + x\mathbf{a}_y + 2\mathbf{a}_z$，求将 $Q=2\text{ C}$ 电荷从 $(1,0,1)$ 移动到 $(0.8,0.6,1)$ 沿圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的较短弧所做的功。

解析：

$W = -Q\int_B^A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{L}$

$d\mathbf{L} = dx\mathbf{a}_x + dy\mathbf{a}_y + dz\mathbf{a}_z$

$\mathbf{E} \cdot d\mathbf{L} = y\,dx + x\,dy + 2\,dz$

$W = -2\left(\int_1^{0.8} y\,dx + \int_0^{0.6} x\,dy + \int_1^1 2\,dz\right)$

沿圆 $x^2 + y^2 = 1$，$y = \sqrt{1-x^2}$，$x = \sqrt{1-y^2}$：

$W = -2\left(\int_1^{0.8} \sqrt{1-x^2}\,dx + \int_0^{0.6} \sqrt{1-y^2}\,dy + 0\right)$

计算得 $W \approx 0.962 \text{ J}$

例题2：沿直线路径的功#

题目： 重复例题1，但沿从 $B$ 到 $A$ 的直线路径。

解析：

直线方程：$y = -3x + 3$，$x = 1 - y/3$

$W = -2\left(\int_1^{0.8} (-3x+3)\,dx + \int_0^{0.6} (1-y/3)\,dy + 0\right)$

计算得 $W = 0.962 \text{ J}$

结论： 无论路径如何（圆弧或直线），功的结果相同——说明静电场是保守场。

微分长度元#

直角坐标系： $\mathbf{L} = dx\,\mathbf{a}_x + dy\,\mathbf{a}_y + dz\,\mathbf{a}_z$

圆柱坐标系： $\mathbf{L} = d\rho\,\mathbf{a}_\rho + \rho\,d\phi\,\mathbf{a}_\phi + dz\,\mathbf{a}_z$

球坐标系： $\mathbf{L} = dr\,\mathbf{a}_r + r\,d\theta\,\mathbf{a}_\theta + r\sin\theta\,d\phi\,\mathbf{a}_\phi$

无限长线电荷附近的功#

对于无限长线电荷，$\mathbf{E} = \frac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0 \rho} \mathbf{a}_\rho$：

沿 $\phi$ 方向的路径：$W = 0$（$\mathbf{E} \perp d\mathbf{L}$） 沿 $\rho$ 方向的路径：$W = -\frac{Q\rho_L}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{b}{a}$

电位差的定义#

电位差 $V_{AB}$ 定义为将单位正电荷从 $B$ 点移动到 $A$ 点外力所做的功：

$V_{AB} = -\int_B^A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{L}$

电位差的单位为伏特（V），$1\text{ V} = 1\text{ J/C}$。

• $V_{AB} > 0$：外力做功将正电荷从 $B$ 移到 $A$
• $V_{AB} < 0$：电场做功（正电荷从 $A$ 自然移动到 $B$）

电位#

电位是相对于参考点的电位差。常用参考点：

• 大地（ground）
• 无穷远（infinity）
• 同轴电缆的外导体

$V_A = -\int_{\text{ref}}^A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{L}$

线电荷的电位差#

从 $\rho = a$ 到 $\rho = b$：

$V_{ab} = \frac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{b}{a}$

点电荷的电位#

取无穷远为零参考点：

$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$

环形线电荷的电位#

求 $z$ 轴上距环形线电荷（半径 $a$，线密度 $\rho_L$，位于 $z=0$ 平面）的电位：

$V = \frac{\rho_L a}{2\varepsilon_0 \sqrt{a^2 + z^2}}$

例题3：已知电位求场量#

题目： 已知 $V = 2x^2 y - 5z$，及点 $(-4,3,6)$，求 $V$、$\mathbf{E}$、$\mathbf{E}$ 方向、$\mathbf{D}$ 和 $\rho_v$。

解析：

$V = 2(16)(3) - 5(6) = 96 - 30 = 66 \text{ V}$

$\mathbf{E} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\mathbf{a}_x + \frac{\partial V}{\partial y}\mathbf{a}_y + \frac{\partial V}{\partial z}\mathbf{a}_z\right)$

$= -(4xy\,\mathbf{a}_x + 2x^2\,\mathbf{a}_y - 5\,\mathbf{a}_z)$

在 $(-4,3,6)$ 处： $\mathbf{E} = -(-48\,\mathbf{a}_x + 32\,\mathbf{a}_y - 5\,\mathbf{a}_z) = 48\mathbf{a}_x - 32\mathbf{a}_y + 5\mathbf{a}_z \text{ V/m}$

$|\mathbf{E}| = \sqrt{48^2 + 32^2 + 5^2} = \sqrt{3353} \approx 57.9 \text{ V/m}$

方向单位向量：$\mathbf{a}_E = \frac{48\mathbf{a}_x - 32\mathbf{a}_y + 5\mathbf{a}_z}{57.9}$

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$

$\rho_v = \nabla \cdot \mathbf{D} = \varepsilon_0 \nabla \cdot \mathbf{E} = \varepsilon_0 \left(\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}\right)$

$\frac{\partial E_x}{\partial x} = -4y,\; \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0,\; \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0$

$\rho_v = -4y\varepsilon_0 = -12\varepsilon_0 \text{ C/m}^3$

电偶极子的定义#

两个大小相等、符号相反、间距很小的点电荷构成电偶极子。

电偶极子的电位#

$V = \frac{Qd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{a}_r}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$

其中 $\mathbf{p} = Q\mathbf{d}$ 为电偶极矩。

电偶极子的电场#

$\mathbf{E} = \frac{Qd}{4\pi\varepsilon_0 r^3}(2\cos\theta\,\mathbf{a}_r + \sin\theta\,\mathbf{a}_\theta)$

一、单选题#

1. 电位差的单位是？ A. J B. V C. A D. W

答案： B 解析： 电位差的单位是伏特（V），$1\text{ V} = 1\text{ J/C}$。 关联原文：[[Chp4#电位差的定义]]

2. 电场强度 $\mathbf{E}$ 和电位 $V$ 的关系是？ A. $\mathbf{E} = \nabla V$ B. $\mathbf{E} = -\nabla V$ C. $\mathbf{E} = \nabla \times V$ D. $\mathbf{E} = -\nabla \times V$

答案： B 解析： $\mathbf{E} = -\nabla V$，电场指向电位下降最快的方向。 关联原文：[[Chp4#七、电位梯度]]

3. 在等位面上移动电荷，电场力做功为？ A. 正功 B. 负功 C. 零 D. 取决于电场方向

答案： C 解析： 等位面上电位相同，$\mathbf{E} \perp d\mathbf{L}$，故做功为零。 关联原文：[[Chp4#五、等位面]]

二、多选题#

4. 以下哪些是电位参考点的常用选择？ A. 大地 B. 无穷远 C. 同轴电缆的外导体 D. 点电荷所在位置

答案： A、B、C 解析： 常用的电位参考点包括大地、无穷远和外导体。点电荷所在位置电位趋于无穷大，不可用作参考点。 关联原文：[[Chp4#电位]]

5. 静电场中，电位的特点包括？ A. 可叠加 B. 与路径无关（保守场） C. 沿闭合回路积分为零 D. 等位面与电场线平行

答案： A、B、C 解析： 电位满足叠加原理，与路径无关（保守场），$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{L} = 0$。等位面与电场线垂直而非平行。 关联原文：[[Chp4#六、电位场的保守性]]

三、判断题#

6. 电偶极子的电位与距离 $r$ 成反比。 答案： 错误 解析： 电偶极子的电位 $V \propto 1/r^2$，而点电荷的电位 $V \propto 1/r$。 关联原文：[[Chp4#电偶极子的电位]]

7. 均匀电场中移动电荷所做的功与路径无关。 答案： 正确 解析： 静电场为保守场，功只取决于起点和终点的位置，与路径无关。 关联原文：[[Chp4#均匀电场中的功]]

四、简答题#

8. 从电位梯度出发，推导已知 $V$ 求 $\mathbf{E}$ 的方法。 参考答案： $\mathbf{E} = -\nabla V$。在直角坐标系中，$\mathbf{E} = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\mathbf{a}_x + \frac{\partial V}{\partial y}\mathbf{a}_y + \frac{\partial V}{\partial z}\mathbf{a}_z\right)$。即电场强度等于电位梯度的负值，方向指向电位下降最快的方向。 关联原文：[[Chp4#七、电位梯度]]

电流的定义#

电荷的定向运动形成电流。电流的单位为安培（A）：

$I = \frac{dQ}{dt}$

电流定义为正电荷的运动方向（金属导体中实际为电子反向运动）。

电流密度#

电流密度 $\mathbf{J}$ 是矢量，单位为 $\text{A/m}^2$：

$\Delta I = J_N \Delta S \quad \Rightarrow \quad I = \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S}$

电流密度与体电荷密度 $\rho_v$ 和速度 $\mathbf{v}$ 的关系：

$\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{v}$

这称为对流电流密度（convection current density）。

积分形式#

电荷守恒定律——“电荷既不能创生也不能消灭”：

$\oint_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S} = -\frac{dQ_i}{dt}$

即流出闭合曲面的电流等于曲面内电荷的减少率。

微分形式（点形式）#

利用散度定理：

$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}$

这是电流连续性方程的微分形式。

例题1：电流密度#

题目： 已知电流密度 $\mathbf{J} = \frac{2\cos\theta}{r^3} \mathbf{a}_r \text{ A/m}^2$，求相关物理量。

解析： 具体求解步骤需根据题目要求进行。一般思路：

• 通过 $I = \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S}$ 求总电流
• 通过 $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\partial \rho_v/\partial t$ 求体电荷密度的变化率

能带结构#

金属、半导体和绝缘体在 0 K 时的能带结构不同。金属中，价带电子在电场作用下形成漂移速度 $\mathbf{v}_d$：

$\mathbf{v}_d = -\mu_e \mathbf{E}$

其中 $\mu_e$ 为电子迁移率。

欧姆定律的点形式#

$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$

其中 $\sigma$ 为电导率（单位：$\text{S/m}$）。

宏观欧姆定律#

对于均匀电场中的圆柱导体：

$V = EL, \quad I = JS = \sigma E S$

$R = \frac{V}{I} = \frac{L}{\sigma S}$

导体的静电性质#

性质1： 导体内体电荷密度为零（$\rho_v = 0$），电荷只存在于外表面。 性质2： 静电场条件下，导体内电场强度为零（$\mathbf{E} = 0$）。

导体表面的边界条件#

切向分量： $E_t = 0$，$D_t = 0$（否则电荷将运动，不满足静电场条件） 法向分量： $D_N = \rho_S$，$E_N = \rho_S/\varepsilon_0$

导体在静电场中的三个原则：

1. 导体内 $E = 0$
2. 导体表面电场处处垂直于表面
3. 导体表面为等位面

例题2：导体边界条件#

题目： 已知电位 $V = 100(x^2 - y^2)$，点 $P(2,-1,3)$ 位于导体-自由空间边界上，求 $V$、$\mathbf{E}$、$\mathbf{D}$ 和 $\rho_S$ 以及导体表面方程。

解析：

$V_P = 100(4 - 1) = 300 \text{ V}$

$\mathbf{E} = -\nabla V = -[200x\,\mathbf{a}_x - 200y\,\mathbf{a}_y] = -200x\,\mathbf{a}_x + 200y\,\mathbf{a}_y$

在 $P(2,-1,3)$ 处： $\mathbf{E} = -400\mathbf{a}_x - 200\mathbf{a}_y \text{ V/m}$

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} = \varepsilon_0(-400\mathbf{a}_x - 200\mathbf{a}_y)$

$\rho_S = D_N = |\mathbf{D} \cdot \mathbf{n}|$（需根据具体导体表面方向确定）

导体表面为等位面，方程为 $V = 300$，即 $x^2 - y^2 = 3$（在 $P$ 点处）。

镜像法的原理#

一个电荷附近的无限大接地导电平面上方的电场，可以通过去掉平面并在对称位置放置一个镜像电荷来等效。

关键点：

• 镜像电荷与原电荷大小相等、符号相反
• 导电平面的电位为零（$V = 0$）
• 上半空间的电场不变

例题3：镜像法应用#

题目： 在 $z=0$ 的接地导电平面上方 $x=0, z=3$ 处有一条 30 nC/m 的线电荷，求 $P(2,5,0)$ 处的面电荷密度。

解析：

去掉导电平面，在 $x=0, z=-3$ 处放置镜像线电荷（-30 nC/m）。

$P$ 点的电场由原线电荷和镜像线电荷叠加得到。由于 $P$ 在 $z=0$ 平面上，$E$ 的法向分量为两个线电荷贡献之和。

从镜像法原理可知，导电平面上的面电荷密度可由电场法向分量求得：

$\rho_S = D_N = \varepsilon_0 E_N$

本征半导体#

本征半导体（如纯锗、纯硅）中，载流子有两种：

• 电子（从价带跃迁到导带）
• 空穴（价带留下的空位，视为正电荷）

禁带宽度约为 $1 \text{ eV}$。

半导体的电导率#

$\sigma = -\rho_e \mu_e + \rho_h \mu_h$

其中 $\mu_e$、$\mu_h$ 分别为电子和空穴的迁移率。

• 半导体电导率随温度升高而增大（载流子密度快速增加）
• 金属电导率随温度升高而减小
• 半导体也满足欧姆定律的点形式：$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$

电介质的极化#

电介质中的电荷为束缚电荷（bound charges），在电场作用下只能做微小位移。电介质具有储存电场能量的能力。

极性分子： 具有永久电偶极矩，外场使其定向排列。 非极性分子： 无永久电偶极矩，外场使其正负电荷中心分离。

极化强度#

极化强度 $\mathbf{P}$ 定义为每单位体积的电偶极矩：

$\mathbf{P} = \lim_{\Delta v \to 0} \frac{1}{\Delta v} \sum_{i=1}^{n\Delta v} \mathbf{p}_i$

单位：$\text{C/m}^2$

电通量密度的一般形式#

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$

极化率与相对介电常数#

在各向同性材料中，$\mathbf{P}$ 与 $\mathbf{E}$ 线性相关：

$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$

其中 $\chi_e$ 为电极化率。于是：

$\mathbf{D} = \varepsilon_0(1 + \chi_e)\mathbf{E} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E}$

其中 $\varepsilon_r = 1 + \chi_e$ 为相对介电常数。

例题4：电介质中的场#

题目： 特氟龙（Teflon） slab 位于 $0 \le x \le a$ 区域，外部为自由空间。Teflon 外有均匀电场 $\mathbf{E}_{\text{out}} = E_0 \mathbf{a}_x \text{ V/m}$，求各区域的 $\mathbf{D}$、$\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{P}$。

解析：

区域 I（$x < 0$）： $\mathbf{E}_I = E_0 \mathbf{a}_x,\quad \mathbf{D}_I = \varepsilon_0 E_0 \mathbf{a}_x,\quad \mathbf{P}_I = 0$

区域 II（$0 \le x \le a$，Teflon 内部）： 由边界条件，$D_{N}$ 连续： $\mathbf{D}_{II} = \varepsilon_0 E_0 \mathbf{a}_x$

$\mathbf{E}_{II} = \frac{\mathbf{D}_{II}}{\varepsilon} = \frac{\varepsilon_0 E_0}{\varepsilon} \mathbf{a}_x = \frac{E_0}{\varepsilon_r} \mathbf{a}_x$

$\mathbf{P}_{II} = \mathbf{D}_{II} - \varepsilon_0 \mathbf{E}_{II} = \varepsilon_0 E_0 \left(1 - \frac{1}{\varepsilon_r}\right) \mathbf{a}_x$

区域 III（$x > a$）： $\mathbf{E}_{III} = E_0 \mathbf{a}_x,\quad \mathbf{D}_{III} = \varepsilon_0 E_0 \mathbf{a}_x,\quad \mathbf{P}_{III} = 0$

切向分量#

电场强度的切向分量连续：

$E_{t1} = E_{t2}$

电通量密度的切向分量一般不连续：

$\frac{D_{t1}}{\varepsilon_1} = \frac{D_{t2}}{\varepsilon_2}$

法向分量#

若无自由面电荷（$\rho_S = 0$），电通量密度的法向分量连续：

$D_{N1} = D_{N2}$

电场强度的法向分量一般不连续：

$\varepsilon_1 E_{N1} = \varepsilon_2 E_{N2}$

电场方向和大小关系#

$\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}$

例题5：Teflon 中的场（续）#

题目： 利用边界条件完成例题4，求 Teflon 内部的场。

解析：

由边界条件，Teflon 与自由空间边界上：

• 法向 $\mathbf{D}$ 连续：$D_{N,\text{Teflon}} = D_{N,\text{free}} = \varepsilon_0 E_0$
• 切向 $\mathbf{E}$ 连续：$E_{t,\text{Teflon}} = E_{t,\text{free}}$

因此 Teflon 内部的 $\mathbf{D}$、$\mathbf{E}$、$\mathbf{P}$ 与例题4中区域 II 的结果一致。

导体-电介质边界条件#

$\mathbf{E}_{\text{inside}} = 0,\quad \mathbf{D}_{\text{inside}} = 0$ $E_t = 0,\quad D_t = 0$ $D_N = \varepsilon E_N = \rho_S$

导体内电荷弛豫#

任何在导体内部引入的电荷都将快速到达表面： $\rho_v = \rho_0 e^{-t/(\varepsilon/\sigma)}$

时间常数 $\tau = \varepsilon/\sigma$：

• 良导体：时间常数很小（$\sim 10^{-19}\text{ s}$），电荷迅速衰减到表面
• 不良导体：时间常数较大

一、单选题#

1. 电流密度的单位是？ A. A/m B. A/m² C. C/m² D. V/m

答案： B 解析： 电流密度 $\mathbf{J}$ 的单位是 $\text{A/m}^2$。 关联原文：[[Chp5#电流密度]]

2. 欧姆定律点形式 $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$ 中 $\sigma$ 表示？ A. 介电常数 B. 磁导率 C. 电导率 D. 电极化率

答案： C 解析： $\sigma$ 为电导率，单位 $\text{S/m}$。 关联原文：[[Chp5#欧姆定律的点形式]]

3. 静电场中导体内部的电场强度为？ A. 无穷大 B. 零 C. 等于表面电场 D. 由外部电场决定

答案： B 解析： 静电场条件下导体内 $\mathbf{E} = 0$。 关联原文：[[Chp5#导体的静电性质]]

4. 电介质中，$\mathbf{D}$ 与 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{P}$ 的关系是？ A. $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$ B. $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} - \mathbf{P}$ C. $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$ D. $\mathbf{D} = \mathbf{P} - \varepsilon_0 \mathbf{E}$

答案： A 解析： $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$，这是电通量密度在电介质中的一般形式。 关联原文：[[Chp5#电通量密度的一般形式]]

二、多选题#

5. 导体的静电性质包括？ A. 导体内 $\rho_v = 0$ B. 导体内 $\mathbf{E} = 0$ C. 导体表面为等位面 D. 导体表面电场与表面相切

答案： A、B、C 解析： 导体表面电场处处垂直于表面（法向），而非相切。 关联原文：[[Chp5#导体的静电性质]]

6. 电流连续性方程的微分形式表明？ A. $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\partial \rho_v/\partial t$ B. 电荷守恒 C. 电流密度散度为零 D. 电荷可以创生

答案： A、B 解析： $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\partial \rho_v/\partial t$ 是电荷守恒定律的微分形式。只有稳恒条件下 $\nabla \cdot \mathbf{J} = 0$。 关联原文：[[Chp5#微分形式（点形式）]]

三、判断题#

7. 镜像法中去掉导电平面后，需在原电荷的对称位置放置等量同号电荷。 答案： 错误 解析： 镜像电荷与原电荷大小相等、符号相反，以保证导电平面的电位为零。 关联原文：[[Chp5#镜像法的原理]]

8. 半导体的电导率随温度升高而降低。 答案： 错误 解析： 半导体电导率随温度升高而增大（载流子密度快速增加）。金属才随温度升高而电导率降低。 关联原文：[[Chp5#半导体的电导率]]

四、简答题#

9. 简述理想电介质边界条件的法向和切向关系。 参考答案： 切向电场 $E_t$ 连续，切向 $D_t$ 一般不连续；法向 $D_N$ 连续（无自由面电荷时），法向 $E_N$ 一般不连续。综合得 $\tan\theta_1/\tan\theta_2 = \varepsilon_1/\varepsilon_2$。 关联原文：[[Chp5#八、理想电介质的边界条件]]

电容的基本概念#

两个导体嵌入均匀电介质中，导体 $M_2$ 带正电荷 $+Q$，导体 $M_1$ 带等量负电荷 $-Q$。两导体间的电位差为 $V_0$。

电容定义为任一导体上的总电荷绝对值与导体间电位差之比：

$C = \frac{Q}{V_0} = \frac{Q}{\int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{L}}$

• 电容与电位和总电荷的比值恒定
• 电容仅取决于导体的几何尺寸和介质的介电常数
• 单位：法拉（F），$1 \text{ F} = 1 \text{ C/V}$

平行板电容器#

两无限大平行平面导体（间距 $d \ll$ 平面线度），介质介电常数为 $\varepsilon$：

$C = \frac{\varepsilon S}{d}$

其中 $S$ 为极板面积。

例题1：平行板电容计算#

题目： 计算以云母为介质（$\varepsilon_r = 6$），极板面积 $10 \text{ in}^2$，间距 $0.01 \text{ in}$ 的平行板电容器的电容。

解析：

首先进行单位换算： $10 \text{ in}^2 = 10 \times (0.0254)^2 = 6.452 \times 10^{-3} \text{ m}^2$ $0.01 \text{ in} = 0.01 \times 0.0254 = 2.54 \times 10^{-4} \text{ m}$

$C = \frac{\varepsilon S}{d} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d} = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 6.452 \times 10^{-3}}{2.54 \times 10^{-4}} = 1.35 \text{ nF}$

同轴电缆（圆柱电容器）#

内导体半径 $a$，外导体内半径 $b$，长度 $L$：

$C = \frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)}$

球形电容器#

两个同心导体球壳，内球半径 $a$，外球内半径 $b$：

$C = \frac{4\pi\varepsilon ab}{b - a}$

孤立导体球的电容#

当 $b \to \infty$：

$C = 4\pi\varepsilon a$

一个直径 1 cm 的孤立导体球电容约为 $0.556 \text{ pF}$。

多层介质电容器#

电场能量#

$W_E = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$

电场能量密度#

$w_E = \frac{1}{2}\mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{2}\varepsilon E^2$

总静电能：$W_E = \int_{\text{vol}} \frac{1}{2}\mathbf{D} \cdot \mathbf{E} \, dv$

电位分布#

采用两根平行线电荷（$\pm\rho_L$ 位于 $x = \pm a$）等效：

$V = \frac{\rho_L}{2\pi\varepsilon} \ln\frac{R_2}{R_1}$

圆柱表面的电位 $V_0 = \frac{\rho_L}{2\pi\varepsilon} \ln K_1$

其中 $a = \sqrt{h^2 - b^2}$，$K_1 = \frac{h + \sqrt{h^2 - b^2}}{b}$

例题2：圆柱-平面系统确认参数#

题目： 半径 5 m 的圆柱体电位 100 V，轴线距零电位平面 13 m。在自由空间中，求相关参数。

解析：

$a = \sqrt{h^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \text{ m}$ $K_1 = (h + a)/b = (13 + 12)/5 = 5$ $\rho_L = 2\pi\varepsilon_0 V_0/\ln K_1$

可进一步确定 50 V 等位面的参数。

方程形式#

泊松方程：$\nabla^2 V = -\rho_v/\varepsilon$ 拉普拉斯方程：$\nabla^2 V = 0$

拉普拉斯算子#

直角坐标系：$\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$

圆柱坐标系：$\nabla^2 V = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\frac{\partial V}{\partial\rho}) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 V}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$

球坐标系：$\nabla^2 V = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial V}{\partial r}) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 V}{\partial\phi^2}$

例题3：平行板电容器（拉普拉斯方程求解）#

题目： 平行板电容器间距 $d$，$V(0) = 0$，$V(d) = V_0$。求电位分布、电场强度和电容。

解析：

$\frac{d^2V}{dx^2} = 0 \Rightarrow V = Ax + B$

边界条件：$B = 0$，$A = V_0/d$

电位分布： $V(x) = (V_0/d)x$

电场强度： $\mathbf{E} = -\frac{V_0}{d}\mathbf{a}_x$

电容： $C = \varepsilon S/d$

例题4：同轴传输线#

题目： 同轴电缆内导体半径 $a$（电位 $V_0$），外导体内半径 $b$（电位 0），求电位分布和电容。

解析：

$\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}(\rho\frac{dV}{d\rho}) = 0 \Rightarrow V = A\ln\rho + B$

边界条件：$V(b) = 0$，$V(a) = V_0$

$A = V_0/\ln(a/b)$，$B = -A\ln b$

电位分布： $V(\rho) = V_0\frac{\ln(b/\rho)}{\ln(b/a)}$

电场强度： $\mathbf{E} = \frac{V_0}{\rho\ln(b/a)}\mathbf{a}_\rho$

电容： $C = \frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)}$

例题5：扇形极板#

题目： 两扇形极板 $\phi=0$（电位 0）和 $\phi=\alpha$（电位 $V_0$），求电位分布。