Q1A. Si 掺杂硼（p 型）#

硼是第三族元素，掺入 Si 中充当受主（acceptor）。掺杂浓度 $N_A = 2 \times 10^{17}\,\text{cm}^{-3}$。

1. 空穴浓度（多数载流子）

$p \approx N_A = \mathbf{2.000 \times 10^{17}}\,\text{cm}^{-3}$

室温下杂质完全电离，空穴浓度近似等于受主浓度。

2. 电子浓度（少数载流子）

$n = \frac{n_i^2}{p} = \frac{(1.5\times10^{10})^2}{2\times10^{17}} = \mathbf{1.125 \times 10^{3}}\,\text{cm}^{-3}$

利用质量作用定律 $n \cdot p = n_i^2$。

3. 费米能级位置

相对本征费米能级 $E_i$：

$E_f - E_i = -kT \ln\frac{N_A}{n_i} = -0.026 \times \ln\frac{2\times10^{17}}{1.5\times10^{10}} = -0.026 \times 16.405 = -\mathbf{0.4266}\,\text{eV}$

$E_f$ 在 $E_i$ 下方 0.4266 eV，靠近价带顶 $E_v$，确认是 p 型半导体。

4. 简化能带图

1
    Ec ────────────────
2
                       |  Eg = 1.1 eV
3
    Ei ────────────────   (Ef 上方 0.4266 eV)
4
    Ef ─*──────────────
5
    Ev ────────────────

• $E_c - E_f = 0.55 + 0.4266 = 0.9766\,\text{eV}$
• $E_f - E_v = 0.55 - 0.4266 = 0.1234\,\text{eV}$

$E_f$ 靠近 $E_v$ 而远离 $E_c$，表明空穴是多数载流子。

Q1B. 掺杂 Si 棒的电阻#

已知参数：

1. 电导率

n 型半导体中 $n \approx N_D$：

$\sigma = q\mu_n n \approx q\mu_n N_D = 1.6\times10^{-19} \times 700 \times 3\times10^{17} = \mathbf{33.6}\,(\Omega\cdot\text{cm})^{-1}$

2. 电阻率

$\rho = \frac{1}{\sigma} = \mathbf{0.02976}\,\Omega\cdot\text{cm}$

3. 电阻

$R = \rho\frac{L}{A} = 0.02976 \times \frac{0.1}{10^{-7}} = \mathbf{2.976 \times 10^{4}}\,\Omega = \mathbf{29.76}\,\text{k}\Omega$

Q2A. 突变 N+P 结#

已知参数：$N_A = 10^{15}\,\text{cm}^{-3}$（P 侧），$N_D = 10^{17}\,\text{cm}^{-3}$（N+ 侧），$T = 300\,\text{K}$

1. 接触电势（内建电势）$V_0$

$V_0 = \frac{kT}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2} = 0.026 \times \ln\frac{10^{15}\times10^{17}}{(1.5\times10^{10})^2}$

$\frac{N_A N_D}{n_i^2} = \frac{10^{32}}{2.25\times10^{20}} = 4.444\times10^{11}$

$V_0 = 0.026 \times \ln(4.444\times10^{11}) = 0.026 \times 26.82 = \mathbf{0.6973}\,\text{V}$

2. 热平衡下耗尽层宽度 $W$

$\varepsilon_s = \varepsilon_{r,Si}\,\varepsilon_0 = 11.8 \times 8.85\times10^{-14} = 1.0443\times10^{-12}\,\text{F/cm}$

$\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D} = 10^{-15} + 10^{-17} = 1.01\times10^{-15}\,\text{cm}^3$

由于 $N_D \gg N_A$，耗尽区主要向P 侧扩展：

• P 侧：$x_p \approx 0.96\,\mu\text{m}$
• N+ 侧：$x_n \approx 0.0095\,\mu\text{m} \ll x_p$

3. 零偏耗尽电容（$5\mu\text{m}\times5\mu\text{m}$ 结面积）

$A = 25\,\mu\text{m}^2 = 2.5\times10^{-7}\,\text{cm}^2$

4. 平衡能带图

1
P-side (NA = 1e15)            N-side (ND = 1e17)
2
       Ec                                Ec
3
   ──────────\                      /──────────
4
              \                    /
5
               \__________________/
6
   ──────────  /                  \  ──────────
7
       Ef     /                    \     Ef
8
   ──────────/                      \──────────
9
       Ev                                Ev
10

11
        <──── 耗尽区 ────>
12
        |<── W = 0.96 μm ──>|
13
            qV0 = 0.6973 eV

Q2B. 单边 P+N 结#

已知参数：$A = 10^{-4}\,\text{cm}^2$，N 侧 $N_D = 10^{15}\,\text{cm}^{-3}$，$\tau_p = 0.4\,\mu\text{s}$

对于 P+N 结，N 侧轻掺杂，电流由 N 侧少数载流子（空穴）的扩散主导。

1. 反向饱和电流 $I_s$

公式：$I = qA(D_p p_{n0}/L_p)(e^{qV/kT}-1)$

$p_{n0} = \frac{n_i^2}{N_D} = \frac{(1.5\times10^{10})^2}{10^{15}} = 2.25\times10^{5}\,\text{cm}^{-3}$

$D_p = \frac{kT}{q}\mu_p = 0.026 \times 450 = 11.7\,\text{cm}^2/\text{s}$

$L_p = \sqrt{D_p\tau_p} = \sqrt{11.7 \times 0.4\times10^{-6}} = 2.163\times10^{-3}\,\text{cm}$

2. 正向偏压 $V = 0.4\,\text{V}$

$\frac{qV}{kT} = \frac{0.4}{0.026} = 15.385,\quad e^{15.385}=4.81\times10^{6}$

3. 反向偏压 $V = -4\,\text{V}$

$\frac{qV}{kT} = \frac{-4}{0.026} = -153.85,\quad e^{-153.85} \approx 0$

$I_r = I_s(e^{-153.85}-1) \approx -I_s = \mathbf{-1.95\times10^{-14}}\,\text{A}$

在 $4\,\text{V}$ 反向偏压下，电流已完全饱和，值为 $-I_s$。

Q3A. 理想 MOS 电容器能带图#

条件：p 型硅衬底，$V_{GS} < 0$（栅极接负压）

1
金属        氧化层           p 型硅
2
───       ─────────        ──────────────
3
  E_Fm ──────────
4
                            Ec ────────────
5
                        \  Ei ────────────  界面处
6
                         \ Ef ────────────  向上弯曲
7
                          \Ev ────────────

$V_{GS} < 0$ 时 MOS 结构工作在积累模式：

1. 栅极负电压吸引空穴（p-Si 多数载流子）到 Si/SiO2 界面
2. 能带在界面处向上弯曲
3. 界面空穴浓度 > 体内空穴浓度（积累）
4. 无耗尽层——积累的空穴层完全屏蔽电场

Q3B. MOSFET 参数计算#

已知参数：$N_A = 2\times10^{15}\,\text{cm}^{-3}$，$t_{ox}=12\,\text{nm}$，$\varepsilon_{r,s}=11.8$，$\varepsilon_{r,ox}=3.9$，$W/L=90$，$\mu_n=1100\,\text{cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})$

1. 总能带弯曲与阈值电压

费米势：

强反型起始：$\psi_s = 2\phi_F = \mathbf{0.6136}\,\text{V}$

最大耗尽宽度：

最大耗尽电荷密度：

单位面积氧化层电容：

氧化层压降：

$V_{ox} = \frac{Q_{dep,\max}}{C_{ox}} = \frac{2.03\times10^{-8}}{2.876\times10^{-7}} = \mathbf{0.0704}\,\text{V}$

阈值电压（理想 MOS，$V_{FB}=0$）：

$V_T = V_{FB} + 2\phi_F + V_{ox} = 0 + 0.6136 + 0.0704 = \mathbf{0.684}\,\text{V}$

2. 工作模式与漏极电流

给定 $V_G=2\text{V}$，$V_D=0.5\text{V}$：

$\because V_{DS}=0.5\,\text{V} < V_{GS}-V_T=1.316\,\text{V}$

$\therefore$ MOSFET 工作在三极管（线性）区。

漏极电流：

$I_D = \mu_n C_{ox}\frac{W}{L}\!\left[(V_{GS}-V_T)V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}{2}\right]$

$= 1100 \times 2.876\times10^{-7} \times 90 \times \left[1.316\times0.5 - \frac{0.5^2}{2}\right]$

$= 1100 \times 2.876\times10^{-7} \times 90 \times 0.533$

$= \mathbf{1.52\times10^{-2}}\,\text{A} = \mathbf{15.2}\,\text{mA}$

关于 $\lambda$ 的说明：沟道长度调制参数 $\lambda = 0.1\,\text{V}^{-1}$ 通常仅在饱和区起作用，三极管区一般不适用。

Q4A. PNP BJT 能带图#

1. 热平衡态

1
  发射极 (P+)         基极 (N)       集电极 (P)
2
  ────────────    ────────────    ────────────
3
      Ec              Ec              Ec
4
  ────────────    ────\  /────    ────────────
5
      Ei              Ei \/           Ei
6
  ────────────    ────/\────    ────────────
7
  Ef ────────────  Ef ─────────   Ef ─────────
8
      Ev              Ev              Ev
9
  ────────────    ────/  \────    ────────────

• 热平衡下 $E_f$ 处处相等
• E-B 结和 B-C 结均存在内建势垒和耗尽区

2. 正向有源模式（$V_{EB}>0$，$V_{CB}<0$）

1
  发射极 (P+)         基极 (N)         集电极 (P)
2

3
  Ec ─────────    Ec ──/\──────    Ec ───────\───
4
  Ei ─────────    Ei ──────────    Ei ────────────
5
  Ef ────────     Ef ──────────    Ef ────────────
6
  Ev ─────────    Ev ──\/──────    Ev ───────/───
7

8
    E-B 正偏         窄基区扩散        B-C 反偏
9
    势垒降低         空穴扩散输运      势垒升高
10
    空穴注入                            空穴被扫入

工作机理：

Q4B. Early 效应#

定义：Early 效应（基区宽度调制效应）指 BJT 在正向有源区工作时，$I_C$ 随 $V_{CE}$ 增大而增大的现象。

物理机制：

1
  N+ 发射极         P 基区          N- 集电极
2
 ┌─────────────┬──────────────┬──────────────────┐
3
 │             │  ##########  │                  │
4
 │             │  ##########  │  B-C 耗尽区     │
5
 │             │  有效基区    │  ←─────────→     │
6
 │  注入电子   │  宽度 W_B    │  随 V_CB ↑ 展宽 │
7
 └─────────────┴──────────────┴──────────────────┘
8
                   ↑ W_B ↓ 当 V_CB ↑

1. 正向有源模式，B-C 结反偏
2. 增大 $V_{CB}$（即 $V_{CE}$）→ B-C 结耗尽区加宽
3. 耗尽区向基区扩展 → 有效中性基区宽度 $W_B$ 减小
4. 少子浓度梯度增大 → $I_C$ 增大

定量描述：

$I_C = I_S e^{V_{BE}/V_T}\left(1 + \frac{V_{CE}}{V_A}\right)$

其中 $V_A$ 为 Early 电压，典型值 50–100 V。

后果：

质量作用定律#

$n \cdot p = n_i^2$

多子近似（完全电离，室温）#

• p 型： $\approx N_A$ $， = n_i^2 / N_A$
• n 型： $\approx N_D$ $， = n_i^2 / N_D$

费米能级位置#

$E_f - E_i = \pm kT\ln\frac{N}{n_i}$

（$+$ 号对应 n 型，$-$ 号对应 p 型）

电导率与电阻#

$\sigma = q(\mu_n n + \mu_p p) \approx q\mu_{\text{majority}} N_{\text{doping}}$

$\rho = \frac{1}{\sigma}$

$R = \rho\frac{L}{A}$

爱因斯坦关系#

$D_n = \frac{kT}{q}\mu_n,\qquad D_p = \frac{kT}{q}\mu_p$

扩散长度#

$L_n = \sqrt{D_n\tau_n},\qquad L_p = \sqrt{D_p\tau_p}$

少子平衡浓度（单边结）#

对于 P+N 结，N 侧少子（空穴）：${n0} = \dfrac{n_i^2}{N_D}$ 对于 N+P 结，P 侧少子（电子）：${p0} = \dfrac{n_i^2}{N_A}$

耗尽电容（平行板电容模型）#

$C_j = \frac{\varepsilon_s A}{W}$

其中 $\varepsilon_s = \varepsilon_{r,Si}\cdot\varepsilon_0$，$ 为耗尽层宽度。

介电常数#

$\varepsilon_s = \varepsilon_{r,Si}\cdot\varepsilon_0 = 11.8 \times 8.85\times10^{-14} = 1.0443\times10^{-12}\ \text{F/cm}$

费米势#

$\phi_F = \frac{kT}{q}\ln\frac{N_A}{n_i}$

单位面积氧化层电容#

$C_{ox} = \frac{\varepsilon_{ox}}{t_{ox}} = \frac{\varepsilon_{r,ox}\varepsilon_0}{t_{ox}}$

SiO2 相对介电常数：$\varepsilon_{r,ox} = 3.9$

耗尽层宽度（MOS 单边，p 衬底）#

$W_{dep} = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s\psi_s}{qN_A}}$

其中 $\psi_s$ 为表面势。

最大耗尽宽度（强反型起始点）#

$\psi_s(\text{th}) = 2\phi_F$

$W_{dep,\max} = \sqrt{\frac{4\varepsilon_s\phi_F}{qN_A}}$

最大耗尽电荷密度#

$Q_{dep,\max} = qN_A W_{dep,\max}$

阈值电压（完整形式，含平带电压）#

$V_T = V_{FB} + 2\phi_F + \frac{Q_{dep,\max}}{C_{ox}}$

理想 MOS：${FB}=0$

漏极电流#

三极管（线性）区（${DS} < V_{GS} - V_T$）：

$I_D = \mu_n C_{ox}\frac{W}{L}\left[(V_{GS}-V_T)V_{DS} - \frac{V_{DS}^2}{2}\right]$

饱和区（$V_{DS} \geq V_{GS} - V_T$）： $I_D = \frac{1}{2}\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_T)^2(1 + \lambda V_{DS})$

考虑 Early 效应的集电极电流#

$I_C = I_S e^{V_{BE}/V_T}\left(1 + \frac{V_{CE}}{V_A}\right)$

其中 $为 Early 电压（典型值 50–100 V）， = kT/q = 0.026\ \text{V}$。

输出电阻#

$r_o = \frac{V_A + V_{CE}}{I_C} \approx \frac{V_A}{I_C}$